Matematika‎ > ‎Kapitoly z matematiky ZŠ‎ > ‎Algebra‎ > ‎

Mnohočleny


JEDNOČLEN

je výraz, který se dá napsat jako:
    číslo                5; -2.36; -1/3
    proměnná        a; x; y
    součin čísel a proměnných    5.x; -7.a.b2
Číslo, které se vyskytuje v jednočlenu, nazýváme koeficient.

Snažíme se vždy o co nejstručnější zápis, proto
- součiny stejných proměnných zapisujeme jako mocniny 3.a.a.a.b.b = 3.a3.b2
- tečky označující násobení obvykle vynecháváme 5.a2.c = 5a2c

MNOHOČLEN

je jednočlen nebo výraz, který se dá zapsat jako součet jednočlenů
5k2 + 3p3 + 4 pq + 56
název mnohočlenu je odvozen od počtu jeho členů (jsou odděleny +)
- jednočlen         2x5
- dvojčlen            m + n2
- trojčlen            a2 + b3 + 5
- čtyřčlen            pq + p2q + 5p +2

závorky u záporných koeficientů vynecháváme    8x2 + (-2)xy = 8x2 - 2xy

SČÍTÁNÍ MNOHOČLENŮ

  1. odstraníme závorky    (5x - 3) + (3x - 2) = 5x - 3 + 3x - 2
  2. najdeme členy, ve kterých jsou stejné proměnné ve stejných mocninách    = 5x - 3 + 3x - 2
  3. tyto členy sečteme (odečteme)    = 5x  + 3x - 3 - 2 = 8x - 5

ODČÍTÁNÍ MNOHOČLENŮ

  1. odstraníme závorky, u mnohočlenu, který odčítáme, změníme znaménka    (5x - 3) - (3x - 2) = 5x - 3 - 3x + 2
  2. dále pokračujeme jako při sčítání      = 5x - 3 - 3x + 2 = 5x - 3x - 3  + 2 = 2x - 1

NÁSOBENÍ MNOHOČLENŮ

násobení jednočlenů
při násobení jednočlenů můžeme koeficienty i proměnné libovolně sdružovat a zaměňovat jejich pořadí
3xy . 0,3 y = (3. 0,3) . x . (y . y) = 0,9 . x . y2 = 0,9xy2

násobení mnohočlenu jednočlenem
mnohočlen násobíme jednočlenem tak, že vynásobíme jednočlenem každý člen mnohočlenu a získané jednočleny sečteme 
(2a + b2 - 5).2ab = 2a.2ab + b2.2ab - 5.2ab = 4a2b + 2ab3 - 10ab

násobení mnohočlenu mnohočlenem
mnohočlen vynásobíme mnohočlenem tak, že každý člen jednoho mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a získané jednočleny sečteme
(a + b).(c + d) = ac + ad + bc + bd

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

rozklad na součin vytýkáním před závorku

  1. koeficienty rozložíme na součiny provočísel, mocniny rozepíšeme jako součiny základů  18ab2 + 6a2b - 9a2b2 = 2.3.3.a.b.b + 2.3.a.a.b - 3.3.a.a.b.b
  2. najdeme společné činitele všech součinů                    2.3.3.a.b.b + 2.3.a.a.b - 3.3.a.a.b.b
  3. vytkneme všechny společné činitele před závorku       3.a.b.(2.3.b + 2.a - 3.a.b)
  4. výsledný výraz napíšeme co nejstručněji                     3ab.(6b + 2a - 3ab)

rozklad na součin pomocí vzorců

Podle vzorce A2 +2AB + B2 = (A + B)2 si určíme, která část mnohočlenu odpovídá A, která B:

4x2 + 12x + 9     >> A2 = 4x2, B2 = 9, z toho plyne A = 2x, B = 3, proto 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

Podobně pro vzorec A2 -2AB + B2 = (A - B)2 (změna je pouze ve znaménku prostředního členu).

Podle vzorce A2 - B2 = (A - B).(A + B) rozložíme dvojčleny tvořené rozdílem sudých mocnin:
81x2 - 49 = (9x - 7).(9x + 7)


ODKAZY



Comments